مثلت پاسکال خیام

۱
سطراول						1					1
سطردوم					1					2						1
		1					3						3						1
	1			4					6						4					1
1			5				10					10						5				1
	.				.				.							.			.					.

                      نحوه تشکیل نمودار یا مثلث     پاسکال – خیام

                                                       سطرسوم                                

                                     سطر چهارم

                              سطر پنجم

                                                                                           .                .              .             .               .             .               .

                                           (مثلث خیام - پاسکال)(@)

الف- خانه های نمودار از بالا به پایین قابل گسترش است.

     وتا هر سطر که مایل باشیم می توان ادامه داد . 

  ب- عددهای درون مربع ها نیز از بالا به پایین نوشته می شوند.  

پ- در  مربع های دو طرف هر سطرعدد ۱ گذاشته  میشود. 

 ت- در داخل دیگر مربع ها   حاصل جمع          

 دو عدد درون مربع های سطربالاتر نوشته می شود.

به نظر می رسد: 

 مجموعه اعداد پدید آمده در مثلث (پاسکال -خیام)

که طبق توضیحات گفته شده به سادگی و برای همه قابل شناسایی

است

سرشار از جلوه های متنوع و متعدد رمز و راز اعداد است.

 در این جا به چند نمونه اشاره می شود.

								1
						1					1
					1					2						1
		1					3						3						1
	1			4					6						4					1
1			5				10					10						5				1
	.				.				.							.			.					.

 

           اولین کار برد اعداد هر سطر  که ظاهرا

 منظور ابداع کنندگان این نمودار

(خیام،پاسکال)نیز بوده .در بسط دو جمله ای می باشد.

    (a+b)^۲=۱a^۱+۲a^۱b^۱+۱b         ^{ضرایب سطر دوم}                  

(a+b)۳=۱a۳+۳a۲b۱+۳a۱b۲+۱b۳         ضرایب سطر سوم                 (a+b)۴=۱a۴+۴a۳b۱+۶a۲b۲+۴a۱b۳+۱b۴            ضرایب سطرچهارم            . . . . . . . . . و   دومین نکته در اعداد هر سطر این است که ۱+۱=۲۱جمع عددهای سطر اول  ۱+۲+۱=۲۲ جمع عددهای سطردوم  ۱+۳+۳+۱=۲۳جمع عددهای سطر سوم  ۱+۴+۶+۴+۱=۲۴جمع عددهای سطر چهارم . . . . . .  و    

اگر به عددهای ساق های مثلث نگاه کنیم

در اولین لایه همه عددها یک هستند. . . . . و    ۱    ۱     ۱    ۱     ۱    ۱    ۱

در لایه دوم عددهای طبیعی به طور متوالی ظاهر می شود

. . . . و   ۷    ۶    ۵    ۴    ۳    ۲    ۱

در لایه سوم عددهای مثلثی ایجاد می شود

. . . . . و ۲۸    ۲۱    ۱۵    ۱۰    ۶    ۳    ۱

این رشته از عددها به این دلیل مثلثی گفته می شوند که

اگر ضلع مثلث با دو نقطه معین گردد

 فقط ۳ نقطه                                                             . 

برای نمایش مثلث کافی است.       .         .

     واگر به مثلث قبلی نقاطی اضافه کنیم تا در                    .

     هر ضلع مثلث جدید که طبعا بزرگتر می شود             .         .

     سه نقطه باشد ۶ نقطه لازم  است                       .         .         .

به همین ترتیب چهارمین عدد مثلثی ۱۰ بدست می آید

و نکته دیگر در همین رشته عددها این است که

برای مثال حا صل جمع عددهای طبیعی از ۱ تا ۴ همان

چهارمین عدد این رشته از عددها است

۱۰=۴+۳+۲+۱

مثلت پاسکال خیام

۱
سطراول						1					1
سطردوم					1					2						1
سطر سوم		1					3						3						1
	1			4					6						4					1
1			5				10					10						5				1
	.				.				.							.			.					.

                      نحوه تشکیل نمودار یا مثلث                                                                                           .                .              .             .               .             .               .

                                           (مثلث خیام - پاسکال)(@)

الف- خانه های نمودار از بالا به پایین قابل گسترش است.

     وتا هر سطر که مایل باشیم می توان ادامه داد . 

  ب- عددهای درون مربع ها نیز از بالا به پایین نوشته می شوند.  

پ- در  مربع های دو طرف هر سطرعدد ۱ گذاشته  میشود. 

 ت- در داخل دیگر مربع ها   حاصل جمع          

 دو عدد درون مربع های سطربالاتر نوشته می شود.

به نظر می رسد: 

 مجموعه اعداد پدید آمده در مثلث (پاسکال -خیام)

که طبق توضیحات گفته شده به سادگی و برای همه قابل شناسایی

است

سرشار از جلوه های متنوع و متعدد رمز و راز اعداد است.

 در این جا به چند نمونه اشاره می شود.

								1
						1					1
					1					2						1
		1					3						3						1
	1			4					6						4					1
1			5				10					10						5				1
	.				.				.							.			.					.

 

           اولین کار برد اعداد هر سطر  که ظاهرا

 منظور ابداع کنندگان این نمودار

(خیام،پاسکال)نیز بوده .در بسط دو جمله ای می باشد.

    (a+b)^۲=۱a^۱+۲a^۱b^۱+۱b         ^{ضرایب سطر دوم}                  

(a+b)۳=۱a۳+۳a۲b۱+۳a۱b۲+۱b۳         ضرایب سطر سوم                 (a+b)۴=۱a۴+۴a۳b۱+۶a۲b۲+۴a۱b۳+۱b۴            ضرایب سطرچهارم            . . . . . . . . . و   دومین نکته در اعداد هر سطر این است که ۱+۱=۲۱جمع عددهای سطر اول  ۱+۲+۱=۲۲ جمع عددهای سطردوم  ۱+۳+۳+۱=۲۳جمع عددهای سطر سوم  ۱+۴+۶+۴+۱=۲۴جمع عددهای سطر چهارم . . . . . .  و    

اگر به عددهای ساق های مثلث نگاه کنیم

در اولین لایه همه عددها یک هستند. . . . . و    ۱    ۱     ۱    ۱     ۱    ۱    ۱

در لایه دوم عددهای طبیعی به طور متوالی ظاهر می شود

. . . . و   ۷    ۶    ۵    ۴    ۳    ۲    ۱

در لایه سوم عددهای مثلثی ایجاد می شود

. . . . . و ۲۸    ۲۱    ۱۵    ۱۰    ۶    ۳    ۱

این رشته از عددها به این دلیل مثلثی گفته می شوند که

اگر ضلع مثلث با دو نقطه معین گردد

 فقط ۳ نقطه                                                             . 

برای نمایش مثلث کافی است.       .         .

     واگر به مثلث قبلی نقاطی اضافه کنیم تا در                    .

     هر ضلع مثلث جدید که طبعا بزرگتر می شود             .         .

     سه نقطه باشد ۶ نقطه لازم  است                       .         .         .

به همین ترتیب چهارمین عدد مثلثی ۱۰ بدست می آید

و نکته دیگر در همین رشته عددها این است که

برای مثال حا صل جمع عددهای طبیعی از ۱ تا ۴ همان

چهارمین عدد این رشته از عددها است

۱۰=۴+۳+۲+۱

جبر

عدد کامل : اگر مجموع مقسوم علیه های عددی (به غیر از خودش) برابر خود عدد باشد، آن عدد را کامل می نامند.

مثال :                             =  مجموعه ی مقسوم علیه های 6

عدد زائد: اگر مجموع مقسوم علیه های عددی، از خودش بیشتر باشد آن عدد را زائد می نامند.

مثال :               = مجموعه‌ی مقسوم علیه های 12

عدد ناقص : اگر مجموع مقسوم علیه های عددی، از خودش کمتر باشد آن عدد را ناقص می نامند.

 = مجموعه ی مقسوم علیه های 8

اکنون شما هم از هر نوع،  مثال هایی را پیدا کنید.

                                                                        منبع: « آشنایی با تاریخ ریاضیات

فصل پنجم

موضوع : عبارت های جبری ، معادله               تعداد سؤال : 451

 1ـ حاصل عبارت  به ازاء  برابر است با:  (a1200    (b 1      (c صفر      (d 121000

2 ـ اگر 0=m  و  باشد، مقدار A چقدر است؟ (a صفر      (b 1       (c 2         (dنمی توان حساب کرد

3 ـ جواب معادله‌ی   برابر است با:

    (a 1-        (b 1+        (c صفر             (d 2

4 ـ حاصل کسر   کدام گزینه است؟

  (a               (b        

  (c                   (d

5 ـ اگر  باشد، حاصل   برابر است با:   (a27        (b 9          (c 81            (d 12

6 ـ مقدار در معادله‌ی  کدام است؟

     (a          (b 3          (c 2            (d

7 ـ مقدار  در رابطه‌ی  کدام است؟

    (a 2            (b 3         (c 4            (d  6

8 ـ مقدار عددی عبارت  مساوی 1- شده است . مقدار مساوی است با:

    (a 4         (b 4-           (c 8-             (d 10

9 ـ با توجه به معادله‌ی     مقدار x کدام است؟  (a 2          (b 3           (c 4          (d 12

10 ـ در معادله‌ی  مقدار x  کدام است؟

    (a 4              (b 3            (c 2          (d  1

11ـ  در تساوی  به جای x چه عددی

 می توان قرار داد؟ (a 24-   (b 18-    (c 16-    (d 12-

12 ـ  اگر  و    و   باشند حاصل abc چقدر است؟ (a 9       (b 12     (c 15        (d  18

13 ـ در معادله‌ی  مقدار k چه عددی است؟  (a 2-         (b 2          (c 1-            (d 1+

14 ـ جواب معادله‌ی  کدام است؟

      (a 5         (b 5-        (c            (d  5+ و 5ـ

15 ـ مقدار x در معادله‌ی  برابر است با :

     (a 4          (b 5            (c 7            (d 8

16 ـ مقدار x در معادله‌ی روبرو کدام است؟

     (a 4         (b 5            (c 7             (d  8

17 ـ در معادله‌ی توانی مقابل  مقدارx برابر     

     است با:  (a 4      (b 5         (c 3            (d  8

18 ـ در تساوی  مقدار x کدام است؟

   (a 5           (b 25         (c 125          (d 625

19 ـ به ازای چه مقدار x ،‌حاصل عبارت  مساوی با یک می باشد؟ (a 2-      (b 2         (c 1       (d 1-

20 ـ در معادله‌ی   مقدار x چقدر است؟

       (a7           (b 6          (c 5              (d 4

21 ـ در معادله‌ی توانی مقابل مقدار x  برابر است با:

       (a4           (b 5         (c 8               (d  6

22 ـ در معادله‌ی   مقدار x  را مشخص کنید؟   (a1        (b 2         (c 3          (d 4

23 ـ ریشه‌های معادله‌ی  کدام     

   است(a        یا            یا               

        (b           یا             یا    

        (c           یا             

        (d          یا        

24 ـ ساده شده‌ی عبارت  کدام گزینه است؟   (a        (b            

                 (c         (d

25ـ معادله‌ی  چند جواب دارد؟

    (a1            (b 2           (c 4            (d  هیچ

26ـ اگر به عددی3 واحد اضافه کنیم به مجذورآن 39 واحد اضافه می شود.آن عدد چیست؟

    (a4           (b 5            (c 6            (d  7

27ـ عددی با نصف و ثلث خودش 11 می شود . مجذور معکوس آن عدد چیست ؟

    (a6+          (b 12         (c 36           (d  

28- اگر  و  و  باشد، مقدار xyz برابر است با:  (a 9       (b 24      (c 5         (d 10

29- عرض مستطیلی  طول آن است . اگر از طول 3 متر کم کنیم و به عرض اضافه کنیم، مستطیل به شکل مربع درمی آید،‌ابعاد مستطیل را مشخص کنید.

   (a 16 و 20                           (b 12 و 15

  (c    13 و 17                         (d  12 و 18

30ـ حاصل ضرب دو عدد 30 و تفاضل آن ها 7 می باشد. مجموع مربعات آن دو عدد کدام است؟

  (a109        (b 70        (c 58          (d 53

30ـ 

31ـ   اگر   باشد ،‌حاصل  کدام است؟

   (a      (b 2-         (c 3-           (d  

32ـ  مربعی به ضلع  است ، محیط و مساحت آن به ترتیب کدام است؟

 (a   (b    

(c           (d

33    - اگر      باشد،  برابر است با :

 (a          (b         (c             (d

34    – به ازای چه مقدار m دو کسر   و  با هم برابر می شوند؟ (a     (b     (c       (d  18

35    – اگر و  و   باشند، مقدار عددی  برابر است با :

    (a 13         (b 14         (c 15            (d  16

36    – حاصل عبارت  کدام گزینه است؟

    (a       (b          (c       (d  

37    – اگر  باشد، کدام گزینه صحیح است؟ (a    (b    (c    (d

38    – اگر  باشد،حاصل  کدام است؟ (a         (b          (c           (d

39    – اگر داشته باشیم  حاصل  کدام است؟ (a       (b 19         (c            (d 9

40    – اگر  و  باشند، حاصل  کدام است؟

       (a               (b      

       (c              (d  

41    – مقدار x در معادله‌ی  کدام است؟

      (a 4-         (b 3       (c              (d 2

42    – مجموع دو عدد 5 و حاصلضربشان 24 است. مجموع معکوسات آنها کدام است؟

     (a        (b          (c          (d

43    – اگر معکوس  از یک کم شود معکوس  بدست می آید . مقدار x برابر است با :

     (a          (b 2-            (c            (d  3

44    - مقدار x در معادله‌ی مقابل کدام گزینه است؟

     (a صفر         (b 2            (c  1             (d  

45- شخصی مبلغی را بین سه فرزندش تقسیم کرد. سهم فرزند اول،‌نصف تمام پول منهای 10000 ریال و سهم دومی ،‌ ثلث تمام پول منهای 8000 ریال و سهم سومی ، ربع تمام پول منهای 6000 ریال شد. کل پول چند ریال بوده است؟

(a300000                   (b 288000                       (c  500000                        (d  543000

B نکته ها

 عبارت جبری و معادله

1-    چند اتحاد مهم :

2-    اگر  باشد، باید داشته باشیم که :        

3-    اگر دو طرف یک نامساوی را در یک عدد مثبت ضرب کنیم جهت نامساوی عوض نمی شود.          

4-    اگر دو طرف یک نامساوی را در یک عدد منفی ضرب کنیم ،‌جهت نامساوی عوض می شود.      

 

فصل ششم

موضوع : آمار           تعداد سؤال : 7

1 ـ اگر میانگین 8 درس دانش آموزی 5/17 باشد و نمره‌ی سه درس او 15 و 5/17 و 5/15 باشد و در دروس دیگر نمرات یکسان داشته باشد،‌ نمره‌ی هر یک از دروس دیگر کدام گزینه است؟ (a 18    (b 17   (c 5/17    (d  5/18

2 – دانش آموزان دو کلاس در یک آزمون شرکت کرده اند . معدل کلاسی که 20 دانش آموز داشت 18 و معدل  کلاس دیگر که 30 دانش آموز داشت 16 شد. معدل نمره های  دو کلاس با کدام گزینه برابر است؟

(a 5/16       (b 6/16        (c  7/16         (d 8/16

3- میانگین سه عدد 24 و  و 18 مساوی 16 است. مقدار x کدام است؟ (a 6        (b 12      (c  26      (d   48

4- سه نفر جمعاٌ 3000 تومان پول داشتند . 30% مربوط به اولی و   مربوط به دومی و بقیه مربوط به نفر سومی است. میانگین پول این سه نفر کدام است؟

(a    800        (b 1000        (c  900        (d 1100

5- اگر حداقل نمره‌ی دانش آموزی 4 و حداکثر آن 16 باشد. برای رسم جدول بهتر است چند دسته قرار دهیم ؟

    (a  7          (b  5           (c 4          (d   6

6- اطلاعات عددی بدست آمده را ........گویند.

   (a داده     (b جدول داده ها      (c نمودار       (d  آمار

7 – میانگین 10 داده‌ی آماری 14 است. در صورتی که یک عدد به آن اضافه شود میانگین دو برابرمی‌شود. آن عدد کدام است؟(a  308     (b 121    (c 168    (d 140

استیون هاوکینگ

استیون ویلیام هاوکینگ
متولد	۸ ژانویهٔ ۱۹۴۲ (سن: ۷۰ سال) آکسفورد، انگلستان
محل زندگی	انگلستان
ملیت	بریتانیایی
رشته فعالیت	ریاضیات کاربردی فیزیک نظری کیهان‌شناسی
محل کار	دانشگاه کمبریج
استاد راهنما	دنیس سیاما
دلیل شهرت	سیاه چاله کیهان‌شناسی نظری جاذبه کوانتوم تابش هاوکینگ
تأثیرات	Dikran Tahta
جوایز	جایزه ولف (۱۹۸۸) مدال شاهزاده آستوریاس (۱۹۸۹) مدال کاپلی (۲۰۰۶) مدال آزادی ریاست جمهوری (۲۰۰۹)

بازی با سن

یک بازی ساده

  مثال: سن شما:۱۴  

 سن خود را در ۲ ضرب کنید.            ۲۸=۲×۱۴     

۵ را به آن اضافه کنید.                     ۳۳=۵+۲۸                                         

مجموع را در ۵ ضرب کنید.             ۱۶۵=۵×۳۳                                           

جواب بدست آمده را بگویید:   ۱۶۵                                                  

رقم سمت راست (یکان)را حذف می کنم.  ۱۶                                          

از عدد به جا مانده عدد ۲ را کم می کنم.              ۱۴=۲-۱۶          

 سن شما بدست آمده است.

این بازی را با افراد مختلف انجام دهید.