هندسه جبری
هندسه جبری شاخه‌ای از ریاضیات است که مفاهیم جبر مجرد، به ویژه جبر جابجایی، را با مسائل هندسه می‌آمیزد. این شاخه از ریاضیات مدرن با آنالیز مختلط، توپولوژی و نظریه اعداد در ارتباط تنگاتنگ است. واریته آفین n-بعدی که یکی از بنیادی ترین مفلهیم این شاخه از ریاضی است دقیقا صفرهای مشترک تعدادی دلخواه از چند جمله ای های n-متغیره روی میدان مفروض تعریف می شود. بنابراین حلقه ی چند جمله ای ها نقش عمده ای در هندسه جبری ایفا می کند. تاریخ این علم گسترش فروانی دارد، طوری که قسمتی از مطالعات ارشمیدس مسائلی پیرامون مقاطع مخروطی، تشکیل می داد. همچنین فیزیک دان مسلمان ایرانی قرن 10 میلادی ابی هیثم برای محاسبه ی مسافت ها مجبور به استفاده از معادلات درجه ی سوم می شده است. و نهایت اینکه خیام معادله ی درجه ی سوم را در کلی ترین حالت حل نمود. وی این کار را از طریق مقاطع مخروطی، و قطع دادن دایره با سهمی درجه دوم، انجام داد.
منابع
- هندسه محاسباتی جبری
- هندسه ی فضایی
هندسهٔ فضایی (Solid geometry) به هندسهٔ اقلیدسی در فضای سه‌بعدی اطلاق می‌شود. فضایی که در آن جدا از طول و عرض، ارتفاع نیز وجود دارد. هندسهٔ فضایی تا حدود زیادی نیاز به تصورات بالا دارد. کل جهان اطراف ما به صورت سه بعدی و فضایی است. هر حجمی را که می شناسید باید ویژگیهایش در مبحث هندسهٔ فضایی محاسبه شود. اشکالی چون کره، مخروط، و استوانه از این دسته هستند.
هندسه ی پویا
هندسه پویا (dynamic geometry) دستاوردی از دنیای کامپیوترها برای آموزش ریاضی است که در آن قضایای هندسه (مسطح یا فضایی) قابلیت به تصویر کشیدن و بررسی کردن در طیفی پیوسته را پیدا می‌کنند.
در این نوع از هندسه که مختص آموزش ریاضیات برای دوره‌های قبل از دانشگاه می‌باشد نقش مهمی در تصویر سازی و تخیل دانش آموز بر عهده دارد.
هندسه اقلیدسی
هندسهٔ اقلیدسی به مجموعهٔ گزاره‌هایِ هندسی‌ای اطلاق می‌شود که به بررسی موجودات ریاضیاتی مثل نقطه و خط می‌پردازد و بر پایه‌هائی که اقلیدس ریاضی‌دان یونانی در کتاب خود به‌نام اصول عرضه کرده، بنا شده‌است. این قضایایِ هندسی عمدتاً توسطِ یونانیانِ باستان کشف و توسطِ اقلیدسِ اسکندرانی گردآوری شده‌اند و بخش بزرگی از آن همان است که در دبیرستان‌ها تدریس می‌شود. کتابِ «اصولِ» اقلیدس یکی از بزرگ‌ترین و تأثیرگذارترین کتاب‌ها چه بلحاظِ محتوا و چه از نظرِ روشِ اصلِ موضوعه‌ای‌اش بوده‌است. تا قرن نوزدهم میلادی هر وقت از هندسه سخن می‌رفت منظور هندسه اقلیدسی بود. بررسی مفاهیم هندسه اقلیدسی در دو بعد را «هندسه مسطحه» و در سه بعد «هندسه فضائی» می‌نامند. این مفاهیم را به ابعاد بالاتر از سه نیز می‌توان تعمیم داد و همچنان آن را هندسه اقلیدسی نامید.
تاریخچه
در حدود ۳۰۱ سال قبل از میلاد دنیای هندسه در تب و تاب بود. نظرات مختلفی در زمینهٔ هندسه وجود داشت و سرانجام اقلیدس با انتشار کتاب اصول بنیادی را بنا نهاد که تا قرن‌ها منسجم‌ترین بنیادهای نظری بشر محسوب می‌شود. روش اقلیدس ساده بود او چند اصل موضوع و چند اصل متعارف را بدون اثبات به عنوان اصول بدیهی پذیرفت و سپس بر اساس آن صدها قضیه دیگر را اثبات کرد که بیشتر آن‌ها بسیار دور از ذهن بودند.
اقلیدس شاگرد مکتب افلاطون بود. او در اصول سیزده جلدی خود تمام دانش بشری تا آن زمان گرد آورد و به مدت دو هزار سال مرجعی بی‌بدیل باقی ماند. روش بنداشتی (اصل موضوع) اقلیدس منجر به کاربرد الگویی شد که امروزه به آن ریاضیات محض می‌گوییم. محض از این نظر که با اندیشهٔ محض سر و کار دارد و از راه آزمون خطا و تجربه به دست نمی‌آید و درستی یا نادرستی احکام آن را نیز از راه تجربه نمی‌توان اثبات یا نفی کرد. برای استفاده از روش بنداشتی یا اصل موضوع دو شرط را باید پذیرفت:
- شرط اول: پذیرفتن احکامی به نام بنداشت یا اصل موضوع که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.
- شرط دوم: توافق بر اینکه کی و چگونه حکمی «به طور منطقی» از حکم دیگر نتیجه می‌شود، یعنی توافق در برخی قواعد استدلال.
کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بی‌نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دست‌چین کرد، و از آن‌ها ۴۶۵ گزاره نتیجه گرفت. زیبایی کار اقلیدس در این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفت.
اصول موضوعه
تمامِ هندسهٔ اقلیدسی (تمامِ قضیه‌هایی که در دبیرستان می‌خوانیم، قضیهٔ فیثاغورس و غیره) می‌توانند از پنج اصلِ موضوعهٔ زیر استخراج شوند:
- از هر دو نقطه یک خطِ راست می‌گذرد.
- هر پاره‌خط را می‌توان تا بینهایت رویِ خطِ راست امتداد داد.
- با یک نقطه به عنوانِ مرکز و یک پاره‌خط به عنوانِ شعاع می‌توان یک دایره رسم نمود.
- همهٔ زوایایِ قائمه با هم برابر اند.
- اگر یک خط دو خطِ دیگر را قطع کند، آن دو خط در طرفی که جمعِ زوایایِ داخلیِ تولید شده توسطِ خطِ مورب کم‌تر از دو قائمه‌است به هم می‌رسند (خود یا امتدادشان).[۱]
برایِ بیانِ این اصولِ موضوعه به مفاهیمی مانندِ نقطه و خط نیاز داریم. همان‌طور که باید چند گزاره را بدونِ اثبات بپذیریم تا بقیهٔ گزاره‌ها استخراج شوند لازم است چند مفهوم را نیز بدونِ تعریف بپذیریم. به این مفاهیم «تعریف‌نشده‌ها» می‌گویند. همان‌طور که دیده می‌شود اصولِ هندسهٔ اقلیدسی به جز اصلِ پنجم بسیار ساده و بدیهی به نظر می‌آیند. به همین‌دلیل از زمانِ اقلیدس ریاضیدانانِ بیشماری در شرق و غرب (من‌جمله خیام ریاضیدانِ ایرانی) تلاش کرده‌اند اصلِ آزاردهندهٔ پنجم را به اثبات برسانند. این کار همواره شکست خورده‌است. سپس برخی ریاضیدانان تلاش نمودند خلافِ اصلِ پنجم را فرض کنند تا ببینند آیا هندسه‌ای متناقض پدید می‌آید یا نه. از آن‌جا که هیچ تناقضی در هندسه‌هایِ دارایِ اصلِ پنجمِ متفاوت دیده نشد به آن‌ها نامِ هندسه نااقلیدسی را دادند. در نتیجه این مسأله مطرح گردید که تجربه کدام هندسه را تأیید می‌کند. نظریهٔ نسبیت عام به این پرسش پاسخ می‌دهد.
اصول متعارفی
- دو مقدار مساوی بامقدار سوم با هم مساوی اند.
- اگر به دو مقدار مساوی مقادیر مساوی اضافه کنیم، حاصل جمع‌ها با هم مساوی اند.
- اگر از دو مقدار مساوی مقادیر مساوی کم کنیم، باقیمانده‌ها با هم مساوی اند.
- دو چیز قابل انطباق با هم برابر اند.
- کل از جزء بزرگ‌تر است.
پس از اقلیدس
۲۱۰۰ سال پس از اقلیدس هندسهٔ او یگانه هندسهٔ موجود بود. با این وجود در طی این مدت طولانی ریاضی‌دان‌های زیادی کوشیدند اصل پنجم را از روی سایر اصل اثبات کنند که این کوشش‌ها سرانجام به نتیجهٔ دیگری منجر شد و در اوایل قرن نوزدهم هندسه‌های جدیدی به وجود آمد که هندسه‌های نااقلیدسی نامیده می‌شود. هندسه‌ای که تنها بر اساس چهار اصل اول اقلیدس ساخته می‌شود هندسه نتاری نامیده می‌شوند. دیوید هیلبرت در آخرین سال قرن نوزدهم (۱۸۹۹) کتاب «مبانی هندسه» خود را نوشت. هیلبرت در این کتاب صورت‌بندی دقیق‌تری از هندسهٔ اقلیدسی ارائه دارد.
جستارهای وابسته
- چهار ضلعی ساکری
- اصل توازی پلی‌فیر
- فهرست بنداشت‌ها
- هندسه‌های نااقلیدسی
- هندسهٔ هذلولوی
- هندسهٔ ریمانی
- هندسهٔ بیضوی
منابع
- گرینبرگ، ماروین جی. هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی. ترجمهٔ م. ه. شفیعیها. ویرایش ویراستهٔ احمد بیرشک، حمید کاظمی، همایون معین. چاپ دوم. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۶۳.
- شهریاری، پرویز، هندسه در گذشته و حال، انتشارات سیمرغ.
هندسه
هندسه مطالعهٔ انواع روابط طولی و اشکال و خصوصیات آن‌ها است. این دانش همراه با حساب یکی از دو شاخهٔ قدیمی ریاضیات است. واژهٔ هندسه، عربی شدهٔ واژهٔ «اندازه» در فارسی است. در زبان انگلیسی به آن geometry و در زبان فرانسه به آن géométrie می‌گویند که هر دو از γεωμετρία (گئومتریا) در زبان یونانی آمده که به معنای اندازه‌گیری زمین است.
تاریخچه هندسه
احتمالاً بابلیان و مصریان کهن نخستین کسانی بودند که اصول هندسه را کشف کردند. در مصر هر سال رودخانه نیل طغیان می‌کرد و نواحی اطراف رودخانه را سیل فرا می‌گرفت. این رویداد تمام علایم مرزی میان املاک را از بین می‌برد و لازم می‌شد دوباره هر کس زمین خود را اندازه‌گیری و مرزبندی کند. مصریان روش علامت‌گذاری زمین‌ها با تیرک و طناب را ابداع کردند. آن‌ها تیرکی را در نقطه‌ای مناسب در زمین فرو می‌کردند و تیرک دیگری در جایی دیگر نصب می‌شد و دو تیرک با طنابی که مرز را مشخص می‌ساخت به یکدیگر متصل می‌شدند. با دو تیرک دیگر زمین محصور شده و محلی برای کشت یا ساختمان سازی مشخص می‌شد.
در آغاز هندسه بر پایهٔ دانسته‌های تجربی پراکنده‌ای در مورد طول و زاویه و مساحت و حجم قرار داشت که برای مساحی و ساختمان و نجوم و برخی صنایع دستی لازم می‌شد. بعضی از این دانسته‌ها بسیار پیشرفته بودند مثلاً هم مصریان و هم بابلیان قضیه فیثاغورث را ۱۵۰۰ سال قبل از فیثاغورث می‌شناختند.
یونانیان دانسته‌های هندسی را مدون کردند و بر پایه‌ای استدلالی قراردادند. برای آنان هندسه، مهم‌ترین دانش‌ها بود و موضوع آن را مفاهیم مجردی می‌دانستند که اشکال مادی فقط تقریبی از آن مفاهیم مجرد بود. در سال ۶۰۰ قبل از میلاد مسیح، یک آموزگار اهل ایونیا (که در روزگار ما بخشی از ترکیه به‌شمار می‌رود) به نام طالس، چند گزاره یا قضیهٔ هندسی را به صورت استنتاجی ثابت کرد. او آغازگر هندسه ترسیمی بود. روش استنتاجی روشی است علمی (بر خلاف روش استقرایی) که در آن مساله‌ای به وسیلهٔ قضایا و حکم‌ها ثابت می‌گردد. فیثاغورث که او نیز اهل ایونیا و احتمالاً از شاگردان طالس بود توانست قضیه‌ای را که به نام او مشهور است اثبات (ریاضی) کند. البته او واضع این قضیه نبود.
اما دانشمندی به نام اقلیدس که در اسکندریه زندگی می‌کرد، هندسه را به صورت یک علم بیان نمود. وی حدود سال ۳۰۰ پیش از میلاد مسیح، تمام نتایج هندسی را که تا آن زمان شناخته بود، گرد آورد و آن‌ها را به طور منظم، در یک مجموعهٔ ۱۳ جلدی قرار داد. این کتاب‌ها که اصول هندسه نام داشتند، به مدت ۲ هزار سال در سراسر دنیا برای مطالعهٔ هندسه به کار می‌رفتند.
بر اساس این قوانین، هندسهٔ اقلیدسی تکامل یافت. هر چه زمان می‌گذشت، شاخه‌های دیگری از هندسه توسط ریاضیدانان مختلف، توسعه می‌یافت. امروزه در بررسی علم هندسه انواع مختلف این علم را نظیر هندسه تحلیلی و مثلثات، هندسه غیر اقلیدسی و هندسه فضایی مطالعه می‌کنند.
خدمت بزرگی که یونانیان در پیشرفت ریاضیات انجام دادند این بود که آن‌ها احکام ریاضی را به جای تجربه بر استدلال منطقی استوار کردند. قبل از اقلیدس، فیثاغورث (۵۷۲-۵۰۰ ق. م) و زنون (۴۹۰ ق. م.) نیز به پیشرفت علم ریاضی خدمت بسیار کرده بودند.
در قرن دوم قبل از میلاد ریاضیدانی به نام هیپارک، مثلثات را اختراع کرد. وی نخستین کسی بود که تقسیم بندی بابلی‌ها را برای پیرامون دایره پذیرفت. به این معنی که دایره را به ۳۶۰ درجه و درجه را به ۶۰ دقیقه و دقیقه را به ۶۰ قسمت برابر تقسیم کرد و جدولی بر اساس شعاع دایره به دست آورد که وترهای بعضی قوس‌ها را به دست می‌داد و این قدیمی‌ترین جدول مثلثاتی است که تاکنون شناخته شده‌است.
بعد از آن دانشمندان هندی موجب پیشرفت علم ریاضی شدند. در سدهٔ پنجم میلادی آپاستامبا، در سدهٔ ششم، آریابهاتا، در سدهٔ هفتم، براهماگوپتا و در سده نهم، بهاسکارا در پیشرفت علم ریاضی بسیار مؤثر بودند.
تقسیم‌بندی هندسه
 |
این مقاله نیازمند تمیزکاری است. لطفاً تا جای امکان آن‌را از نظر املا، انشا، چیدمان و درستی بهتر کنید، سپس این الگو را از بالای مقاله بردارید. محتویات این مقاله ممکن است غیر قابل اعتماد و نادرست یا جانبدارانه باشد یا قوانین حقوق پدیدآورندگان را نقض کرده باشد. |
هنـدسهٔ مقـدماتی به دو قسمت تقسیـم می‌شود:
- هنـدسه مسطحه
- هندسه فضایی
- هندسه خطی.
- هندسه پویا
در هندسهٔ مسطحه، اشکالی مورد مطالعه قرار می‌گیرند که فقط دو بعد دارند، هندسهٔ فضایی، مطالعهٔ اشکال هندسی سه بعدی است. این بخش از هندسه در مورد اشکال سه بعدی چون مکعب‌ها، استوانه‌ها، مخروط‌ها، کره‌ها و غیره‌است.
منابع
- دانشنامهٔ رشد
مسابقه
به اطلاع خوانندگان عزیز می رساند این وبلاگ مسابقه ای در عنوان (بهترین جمله) برگزار می کند .
علاقه مندان می توانند بهترین جملات (خود )را درقالب ریاضی برای ما ارسال کنند بهترین جمله به همراه نام فرد در این وبلاگ قرار می گیردبه همرا تقدیر نامه برای همان فرد.
ایمیل:mathmatice@gmail.com
مهلت ارسال آثار تا خرداد91