تاریخچه ی ریاضی در قرن 17

این قرن یکی از مهمترین قرن ها در تاریخ ریاضیات است زیرا اساساْ دامنه تحقیقات گسترده در ریاضی، در همین قرن بر بشر گشوده شد، شاید به دلیل آزادیهای فکری بیشتر، پیشرفتهای سیاسی، اقتصادی و اجتماعی و در نتیجه رفاه بیشتر زندگی-به ویژه در مقابل سرما و تاریکی شمال اروپا.

پیشرفت علم ریاضی در این قرن آنقدر وسیع و گوناگون است که حتی نوشتن خلاصه ای از آن نیز مثنوی هفتاد من کاغذ خواهد شد. به ناچار باید به گزینش بعضی از کارهای اصیلتر و مهم تر در تاریخ ریاضی این قرن تن داد. از مهمترین اکتشافات - و شاید هم اختراعات - ریاضی در این قرن می توان به مطالب زیر اشاره کرد:

الف) کشف لگاریتم

ب) تدوین علامات و نمادگذاریهای کنونی جبری

ج) گشوده شدن پهنه جدیدی در هندسه محض به ویژه هندسه تصویری

د) آغاز اتصال جبر و هندسه با کشف هندسه تحلیلی

ه) پیشرفتی شگرف در نظریه اعداد و نیز تولد نظریه احتمال

و) کشف یکی از بزرگترین دستاوردهای بشر یعنی حساب دیفرانسیل و انتگرال

شاید بهترین راه برای بررسی تاریخ ریاضی این قرن، شرح مختصری از زندگانی ریاضیدانان برجسته قرن هفدهم باشد.

ریاضیدانان برجسته قرن هفدهم:

1. نپر: چهار اختراع، بشر را در فن محاسبه چیره دست کرد: نماد گذاری هندی-عربی، چگونگی محاسبه مربوط به کسرها، لگاریتم و رایانه ها. «جان نپر» سومین اختراع را به نام خود ثبت کرد. او به طرز عجیبی، هم سیاسی و هم مذهبی بود و نبوغ او در پیشگویی وسایل جنگی چهار قرن بعد از خود اعجاب آور است. تعریف لگاریتم به وسیله نپر، بیشتر فیزیکی است تا ریاضی. بد نیست بدانیم که پایه لگاریتم نپر بر خلاف تصور عموم، عدد e نیست بلکه معکوس e است که البته خود او چیزی در این زمینه نمی دانست. تذکر این نکته لازم است که در تکمیل مفهوم لگاریتم و جداول مربوط به آن، «هنری بریگز» که یکی از دوستان نپر بود، سهم بسزایی دارد و لگاریتم معمولی در پایه ۱۰ را معمولاْ «لگاریتم بریگزی» می نامند. لگاریتم به معنای «عدد نسبت» است که البته این مفهوم، همان طور که ذکر شد بر اساس تابع توانی -که هم اکنون تدریس می شود- به وجود نیامد و یکی از امور خلاف قاعده در تاریخ ریاضیات، کشف لگاریتم، پیش از به کار بردن نماهاست. البته سه اختراع مهم دیگر نیز در تاریخ ریاضی، به نام جان نپر به ثبت رسیده است. (مراجعه کنید به صفحه ۴ جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز.)

2. پاسکال: این نابغه فرانسوی، یکی از بنیانگذاران هندسه محض و پیشرفته و نیز نظریه احتمال است. خواص اصلی اشکال معروف هندسی را در کودکی، بدون معلم و فقط با تلاشهای خودش به دست آورد. در شانزده سالگی مقاله ای درباره مقاطع مخروطی نوشت و در هجده یا نوزده سالگی، اولین ماشین حساب مکانیکی را اختراع کرد. اما متاسفانه در طول ۳۹ سال زندگی، به دلیل افراط و تفریطهای مذهبی، جسم ضعیف خود را بارها و بارها آزرد و چندین بار از ریاضیات دست کشید و دوباره به آن بازگشت. پاسکال را به عنوان یکی از بزرگترین «چه ها که می شد!!» در تاریخ ریاضیات شمرده اند. بعضی از کارهای او عبارتند از:

- تالیف مقاله مهمی درباره خواص اصلی مثلث خیام-پاسکال که در آن به طور جالبی از قدیمی
ترین احکام قابل قبول استقرای ریاضی استفاده شده است.

- کشف و اثبات قضیه مشهور «هگزاگرام رمزی» که درباره یک ۶ ضلعی محاط در یک مقطع
مخروطی است.

- پی ریزی علم احتمال به همراه «فرما» (ریاضیدان بزرگ فرانسوی). این علم به وسیله مکاتباتی
بین پاسکال و فرما در تلاش برای حل «مساله امتیازها» در یک بازی شانسی به وجود آمد.

- اثری درباره منحنی سیکلوئید. این منحنی توسط نقطه ای واقع بر محیط یک دایره، هنگامی که
دایره در امتداد خط مستقیمی بدون اصطکاک می غلطد، رسم می شود. این منحنی دهها
خواص جالب و بسیار زیبا دارد و اختلافات بسیاری بین ریاضیدانان ایجاد کرد به طوری که به آن
«سیب نفاق» گفتند (این نام بر اساس یک افسانه یونانی انتخاب شده است، برای مطالعه آن
به پاورقی صفحه ۲۷ جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز مراجعه فرمایید). جالب است
که از دوران این منحنی حول محور طولها، چیزی شبیه به سیب ایجاد می شود.

3. دکارت: دکارت را معمولاْ مبدع هندسه تحلیلی می دانند که از روشهای جبری برای حل مسائل هندسی استفاده می کرد. این کار کمک بسیاری در ساده سازی مفاهیم هندسی و حل مطالب غامض و پیچیده آن کرد. او همچنین به حل معادلات با درجات بالاتر از ۲ پرداخت و قاعده زیبایی را به نام «قاعده علامات دکارت» برای تعیین تعداد ریشه های مثبت و منفی یک چند جمله ای به دست آورد(مراجعه کنید به صفحه ۷۰ جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز). او برای اولین بار از روش ضرایب نامعین استفاده کرد که همان متحد قرار دادن دو چند جمله ای هم درجه برای به دست آوردن ضرایب نامعین است. البته دکارت در جهان بیرون از ریاضیات، فیلسوف بسیار مشهوری است و مطالب بسیاری را به جهان فلسفه تقدیم کرده است که البته بعضی از آنها کاملاْ نادرست هستند. در ضمن داستانهای جالبی درباره چگونگی کشف هندسه تحلیلی به او نسبت می دهند که ارزش آموزشی زیادی دارد (مراجعه کنید به صفحه ۵۰ جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز).

4. فرما: معمولاْ فرما را بزرگترین ریاضیدان قرن هفدهم فرانسه می دانند. او حقوقدان بود و شغل رسمیش وکالت بود، اما قسمت مهمی از ساعات فراغت خود را وقف ریاضیات می کرد. او در بسیاری از شاخه های ریاضیات کارهای مهم و اساسی انجام داده است که مهمترین این کارها عبارتند از:

- تحقیقات اساسی پیرامون هندسه تحلیلی. فرما را باید در کنار دکارت یکی از موسسان
هندسه تحلیلی نامید. معمولاْ گفته می شود که کارهای فرما عکس کارهای دکارت بوده است.
دکارت از مکان هندسی شروع می کرد و به معادله آن می رسید، اما فرما از معادله شروع و
سپس مکان هندسی آن را مطالعه می کرده است.

- تاسیس نظریه نوین اعداد. فرما شهود و توانایی خارق العاده ای در نظریه اعداد داشت. قضایای
بسیاری را در این زمینه با اثبات یا بدون اثبات بیان کرد که بعدها درست بودن اغلب قضایای ثابت
نشده او به ثبوت رسید(مراجعه کنید به صفحه ۵۲ و ۵۳ جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د.
ایوز). حدس مشهور او به نام «حدس آخر فرما» در آخرین دهه قرن بیستم به اثبات رسید!

- فرما به همراه پاسکال اساس علم احتمال را پی ریزی کرد.

- فرما در حساب دیفرانسیل نیز کارهای اساسی کرد. او ظاهراْ اولین کسی بود که از طریق
معادله f'(x)=0 نقاط ماکزیمم و می نیمم یک تابع را به دست آورد(مراجعه کنید به صفحه ۹۳
جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز). همچنین او یک روش کلی برای یافتن مماس بر
نقطه ای از یک منحنی که مختصات دکارتی آن معلوم باشد، ابداع کرد(مراجعه کنید به صفحه ۹۳
جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز).

5. ریاضیدانان معروف قرن ۱۷ که قبل و یا همزمان با نیوتن می زیستند و در شکل گیری و پیشرفت
حساب دیفرانسیل و انتگرال نقش بسزایی داشتند: (۱) سیمون استوین (۲) لوکا والریو (این دو همان روشی را به کار بردند که ما برای پیدا کردن حجم یک جسم در حساب انتگرال به کار می بریم.) (۳) کاوالیری (۴) فرما (۵) جان والیس (نماد معروف بی نهایت را نیز به او مدیونیم.) (۶) آیزاک برو (که احتمالاْ قضیه اساسی حسابان را اولین بار او ثابت کرد.)

6. نیوتن: صحبت کردن پیرامون نیوتن و کارهای او ساده نیست. ریاضیدان و فیزیکدانی که به گفته لاگرانژ بزرگترین نابغه ای است که در جهان زیسته است. همچنین «لایبنیتز» رقیب سرسخت او در ستایشی بزرگ منشانه، نیمی از کارهای انجام شده ریاضی بشر تا عهد نیوتن را متعلق به نیوتن می داند. انسانی که در ۲۳ سالگی به درجه ای رسید که می توانست مماس و شعاع انحنا در یک نقطه از منحنی را پیدا کند. روشی که امروزه تحت عنوان حساب دیفرانسیل شناخته می شود. در ۲۷ سالگی به استادی دانشگاه برگزیده شد و حدود ۶۵ سال در ریاضیات و فیزیک کار کرد. پاپ دستاوردهای نیوتن را بدین صورت بیان کرده است: «طبیعت و قوانین طبیعت در ظلمت نهفته بودند، ذات باری فرمود نیوتن به وجود آید و همه چیز روشن شد.» البته نیوتن نیز خاضعانه در مقابل ستایشها می گفت که من همچون کودکی در حال بازی در کنار دریا هستم که گاهی صدفهای زیبایی توجهم را جلب می کند اما اقیانوسی از حقایق کشف ناشده در مقابلم قرار دارد. یکبار هم گفت که اگر افق دید او گسترده تر از دیگران است بدین علت است که بر دوش غولان ایستاده است و شاید منظور او از غولان، ارشمیدس و امثال او باشند. کارهای ریاضی او به طور خلاصه به شرح زیر است:

- تالیف کتاب« اصول ریاضی فلسفه طبیعی» که با اصرار «هالی» ستاره شناس معروف و با هزینه او در سال ۱۶۸۷ چاپ شد. این کتاب به مطالعه دستگاه دینامیکی پدیده های زمینی و سماوی می پردازد و یک صورت بندی ریاضی از این پدیده هاست. این کتاب پرنفوذ ترین اثر در تاریخ علم به حساب می آید و تاثیر بسیاری بر دنیای جدید داشت. تاریخ ریاضیات ابتدایی اساساْ با آن پایان می یابد.

- بسط روش بی نهایت کوچکها یا همان حساب دیفرانسیل و نیز روشهای مربوط به سریهای نامتناهی

- بسط روشهای مربوط به ماکزیمم و می نیمم توابع، مماس بر منحنی ها، انحنای منحنی ها، نقاط عطف، تحدب و تقعر منحنی ها، محاسبه مساحتهای زیر منحنی ها و طول قوس آنها

- ارائه روشی برای تقریب زدن مقادیر ریشه های حقیقی یک معادله جبری یا غیر جبری و نیز روشهای زیبایی برای مطالعه منحنی های درجه سوم

7. لایبنیتز: این نابغه جامع ریاضیات، فلسفه، الاهیات و حقوق، رقیب جدی نیوتن در ابداع حسابان بود. عقیده رایج امروز این است که نیوتن و لایبنیتز، حسابان را مستقل از یکدیگر کشف کردند، اما لایبنیتز نتایج را زودتر انتشار داد، هر چند که کشف نیوتن زودتر انجام شده است، اما متاسفانه مشاجره اسفباری بین این دو بر سر تقدم در کشف حسابان در گرفت و هر کدام خود را موسس حساب دیفرانسیل و انتگرال می دانست. هر دو نیز در این مناقشه زیان دیدند، به ویژه نیوتن و ریاضیدانان همعصر او در انگلستان. البته لازم است ذکر شود که لایبنیتز را بزرگترین نابغه جامع قرن هفدهم می نامند و ظاهراْ تنها شخص شناخته شده تاریخ ریاضیات است که هم در ریاضیات پیوسته و هم در ریاضیات گسسته دارای اندیشه ای عالی بوده است. بد نیست بدانیم که لایبنیتز در واقع یک سیاستمدار و یک دیپلمات بود که برای انجام کارهای سیاسی به کشورهای دیگر سفر می کرد. کارهای او در ریاضیات به طور خلاصه عبارتند از:

- ارائه قسمت مهمی از نمادهای کنونی ما در حساب دیفرانسیل و انتگرال از قبیل نماد dx و dy/dx و علامت انتگرال که از S کشیده Summa -یک کلمه لاتین به معنای مجموع- اقتباس شده است. هم اکنون از نمادهای نیوتن آنچنان استفاده نمی شود.

- استخراج بسیاری از قواعد مقدماتی مشتق گیری که معمولاْ در ابتدای درس مشتق در سطوح مختلف دبیرستانی و دانشگاهی آموزش داده میشود. قاعده یافتن مشتق n-ام حاصلضرب دو تابع را قاعده لایبنیتز می نامیم (مراجعه کنید به صفحه ۱۱۳ جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز).

- تلاش برای پایه گذاری نظریه پوشها و تعریف دایره بوسان برای اولین بار

- ارائه اولین ایده ها در منطق ریاضی و نظریه مجموعه ها. او مجموعه تهی و احتوای مجموعه ها را نیز مطالعه کرده است و متوجه شباهتهای نظریه مجموعه ها و منطق ریاضی شده است (به طور مثال شباهت قوانین دمرگان در نظریه مجموعه ها و منطق).

- لایبنیتز احتمالا جزو اولین ریاضیدانانی است که نظریه قدرتمند دترمینانها را برای حل دستگاه معادلات خطی پدید آورده اند.

مثلت پاسکال خیام

۱
سطراول						1					1
سطردوم					1					2						1
		1					3						3						1
	1			4					6						4					1
1			5				10					10						5				1
	.				.				.							.			.					.

                      نحوه تشکیل نمودار یا مثلث     پاسکال – خیام

                                                       سطرسوم                                

                                     سطر چهارم

                              سطر پنجم

                                                                                           .                .              .             .               .             .               .

                                           (مثلث خیام - پاسکال)(@)

الف- خانه های نمودار از بالا به پایین قابل گسترش است.

     وتا هر سطر که مایل باشیم می توان ادامه داد . 

  ب- عددهای درون مربع ها نیز از بالا به پایین نوشته می شوند.  

پ- در  مربع های دو طرف هر سطرعدد ۱ گذاشته  میشود. 

 ت- در داخل دیگر مربع ها   حاصل جمع          

 دو عدد درون مربع های سطربالاتر نوشته می شود.

به نظر می رسد: 

 مجموعه اعداد پدید آمده در مثلث (پاسکال -خیام)

که طبق توضیحات گفته شده به سادگی و برای همه قابل شناسایی

است

سرشار از جلوه های متنوع و متعدد رمز و راز اعداد است.

 در این جا به چند نمونه اشاره می شود.

								1
						1					1
					1					2						1
		1					3						3						1
	1			4					6						4					1
1			5				10					10						5				1
	.				.				.							.			.					.

 

           اولین کار برد اعداد هر سطر  که ظاهرا

 منظور ابداع کنندگان این نمودار

(خیام،پاسکال)نیز بوده .در بسط دو جمله ای می باشد.

    (a+b)^۲=۱a^۱+۲a^۱b^۱+۱b         ^{ضرایب سطر دوم}                  

(a+b)۳=۱a۳+۳a۲b۱+۳a۱b۲+۱b۳         ضرایب سطر سوم                 (a+b)۴=۱a۴+۴a۳b۱+۶a۲b۲+۴a۱b۳+۱b۴            ضرایب سطرچهارم            . . . . . . . . . و   دومین نکته در اعداد هر سطر این است که ۱+۱=۲۱جمع عددهای سطر اول  ۱+۲+۱=۲۲ جمع عددهای سطردوم  ۱+۳+۳+۱=۲۳جمع عددهای سطر سوم  ۱+۴+۶+۴+۱=۲۴جمع عددهای سطر چهارم . . . . . .  و    

اگر به عددهای ساق های مثلث نگاه کنیم

در اولین لایه همه عددها یک هستند. . . . . و    ۱    ۱     ۱    ۱     ۱    ۱    ۱

در لایه دوم عددهای طبیعی به طور متوالی ظاهر می شود

. . . . و   ۷    ۶    ۵    ۴    ۳    ۲    ۱

در لایه سوم عددهای مثلثی ایجاد می شود

. . . . . و ۲۸    ۲۱    ۱۵    ۱۰    ۶    ۳    ۱

این رشته از عددها به این دلیل مثلثی گفته می شوند که

اگر ضلع مثلث با دو نقطه معین گردد

 فقط ۳ نقطه                                                             . 

برای نمایش مثلث کافی است.       .         .

     واگر به مثلث قبلی نقاطی اضافه کنیم تا در                    .

     هر ضلع مثلث جدید که طبعا بزرگتر می شود             .         .

     سه نقطه باشد ۶ نقطه لازم  است                       .         .         .

به همین ترتیب چهارمین عدد مثلثی ۱۰ بدست می آید

و نکته دیگر در همین رشته عددها این است که

برای مثال حا صل جمع عددهای طبیعی از ۱ تا ۴ همان

چهارمین عدد این رشته از عددها است

۱۰=۴+۳+۲+۱

مثلت پاسکال خیام

۱
سطراول						1					1
سطردوم					1					2						1
سطر سوم		1					3						3						1
	1			4					6						4					1
1			5				10					10						5				1
	.				.				.							.			.					.

                      نحوه تشکیل نمودار یا مثلث                                                                                           .                .              .             .               .             .               .

                                           (مثلث خیام - پاسکال)(@)

الف- خانه های نمودار از بالا به پایین قابل گسترش است.

     وتا هر سطر که مایل باشیم می توان ادامه داد . 

  ب- عددهای درون مربع ها نیز از بالا به پایین نوشته می شوند.  

پ- در  مربع های دو طرف هر سطرعدد ۱ گذاشته  میشود. 

 ت- در داخل دیگر مربع ها   حاصل جمع          

 دو عدد درون مربع های سطربالاتر نوشته می شود.

به نظر می رسد: 

 مجموعه اعداد پدید آمده در مثلث (پاسکال -خیام)

که طبق توضیحات گفته شده به سادگی و برای همه قابل شناسایی

است

سرشار از جلوه های متنوع و متعدد رمز و راز اعداد است.

 در این جا به چند نمونه اشاره می شود.

								1
						1					1
					1					2						1
		1					3						3						1
	1			4					6						4					1
1			5				10					10						5				1
	.				.				.							.			.					.

 

           اولین کار برد اعداد هر سطر  که ظاهرا

 منظور ابداع کنندگان این نمودار

(خیام،پاسکال)نیز بوده .در بسط دو جمله ای می باشد.

    (a+b)^۲=۱a^۱+۲a^۱b^۱+۱b         ^{ضرایب سطر دوم}                  

(a+b)۳=۱a۳+۳a۲b۱+۳a۱b۲+۱b۳         ضرایب سطر سوم                 (a+b)۴=۱a۴+۴a۳b۱+۶a۲b۲+۴a۱b۳+۱b۴            ضرایب سطرچهارم            . . . . . . . . . و   دومین نکته در اعداد هر سطر این است که ۱+۱=۲۱جمع عددهای سطر اول  ۱+۲+۱=۲۲ جمع عددهای سطردوم  ۱+۳+۳+۱=۲۳جمع عددهای سطر سوم  ۱+۴+۶+۴+۱=۲۴جمع عددهای سطر چهارم . . . . . .  و    

اگر به عددهای ساق های مثلث نگاه کنیم

در اولین لایه همه عددها یک هستند. . . . . و    ۱    ۱     ۱    ۱     ۱    ۱    ۱

در لایه دوم عددهای طبیعی به طور متوالی ظاهر می شود

. . . . و   ۷    ۶    ۵    ۴    ۳    ۲    ۱

در لایه سوم عددهای مثلثی ایجاد می شود

. . . . . و ۲۸    ۲۱    ۱۵    ۱۰    ۶    ۳    ۱

این رشته از عددها به این دلیل مثلثی گفته می شوند که

اگر ضلع مثلث با دو نقطه معین گردد

 فقط ۳ نقطه                                                             . 

برای نمایش مثلث کافی است.       .         .

     واگر به مثلث قبلی نقاطی اضافه کنیم تا در                    .

     هر ضلع مثلث جدید که طبعا بزرگتر می شود             .         .

     سه نقطه باشد ۶ نقطه لازم  است                       .         .         .

به همین ترتیب چهارمین عدد مثلثی ۱۰ بدست می آید

و نکته دیگر در همین رشته عددها این است که

برای مثال حا صل جمع عددهای طبیعی از ۱ تا ۴ همان

چهارمین عدد این رشته از عددها است

۱۰=۴+۳+۲+۱

جبر

عدد کامل : اگر مجموع مقسوم علیه های عددی (به غیر از خودش) برابر خود عدد باشد، آن عدد را کامل می نامند.

مثال :                             =  مجموعه ی مقسوم علیه های 6

عدد زائد: اگر مجموع مقسوم علیه های عددی، از خودش بیشتر باشد آن عدد را زائد می نامند.

مثال :               = مجموعه‌ی مقسوم علیه های 12

عدد ناقص : اگر مجموع مقسوم علیه های عددی، از خودش کمتر باشد آن عدد را ناقص می نامند.

 = مجموعه ی مقسوم علیه های 8

اکنون شما هم از هر نوع،  مثال هایی را پیدا کنید.

                                                                        منبع: « آشنایی با تاریخ ریاضیات

فصل پنجم

موضوع : عبارت های جبری ، معادله               تعداد سؤال : 451

 1ـ حاصل عبارت  به ازاء  برابر است با:  (a1200    (b 1      (c صفر      (d 121000

2 ـ اگر 0=m  و  باشد، مقدار A چقدر است؟ (a صفر      (b 1       (c 2         (dنمی توان حساب کرد

3 ـ جواب معادله‌ی   برابر است با:

    (a 1-        (b 1+        (c صفر             (d 2

4 ـ حاصل کسر   کدام گزینه است؟

  (a               (b        

  (c                   (d

5 ـ اگر  باشد، حاصل   برابر است با:   (a27        (b 9          (c 81            (d 12

6 ـ مقدار در معادله‌ی  کدام است؟

     (a          (b 3          (c 2            (d

7 ـ مقدار  در رابطه‌ی  کدام است؟

    (a 2            (b 3         (c 4            (d  6

8 ـ مقدار عددی عبارت  مساوی 1- شده است . مقدار مساوی است با:

    (a 4         (b 4-           (c 8-             (d 10

9 ـ با توجه به معادله‌ی     مقدار x کدام است؟  (a 2          (b 3           (c 4          (d 12

10 ـ در معادله‌ی  مقدار x  کدام است؟

    (a 4              (b 3            (c 2          (d  1

11ـ  در تساوی  به جای x چه عددی

 می توان قرار داد؟ (a 24-   (b 18-    (c 16-    (d 12-

12 ـ  اگر  و    و   باشند حاصل abc چقدر است؟ (a 9       (b 12     (c 15        (d  18

13 ـ در معادله‌ی  مقدار k چه عددی است؟  (a 2-         (b 2          (c 1-            (d 1+

14 ـ جواب معادله‌ی  کدام است؟

      (a 5         (b 5-        (c            (d  5+ و 5ـ

15 ـ مقدار x در معادله‌ی  برابر است با :

     (a 4          (b 5            (c 7            (d 8

16 ـ مقدار x در معادله‌ی روبرو کدام است؟

     (a 4         (b 5            (c 7             (d  8

17 ـ در معادله‌ی توانی مقابل  مقدارx برابر     

     است با:  (a 4      (b 5         (c 3            (d  8

18 ـ در تساوی  مقدار x کدام است؟

   (a 5           (b 25         (c 125          (d 625

19 ـ به ازای چه مقدار x ،‌حاصل عبارت  مساوی با یک می باشد؟ (a 2-      (b 2         (c 1       (d 1-

20 ـ در معادله‌ی   مقدار x چقدر است؟

       (a7           (b 6          (c 5              (d 4

21 ـ در معادله‌ی توانی مقابل مقدار x  برابر است با:

       (a4           (b 5         (c 8               (d  6

22 ـ در معادله‌ی   مقدار x  را مشخص کنید؟   (a1        (b 2         (c 3          (d 4

23 ـ ریشه‌های معادله‌ی  کدام     

   است(a        یا            یا               

        (b           یا             یا    

        (c           یا             

        (d          یا        

24 ـ ساده شده‌ی عبارت  کدام گزینه است؟   (a        (b            

                 (c         (d

25ـ معادله‌ی  چند جواب دارد؟

    (a1            (b 2           (c 4            (d  هیچ

26ـ اگر به عددی3 واحد اضافه کنیم به مجذورآن 39 واحد اضافه می شود.آن عدد چیست؟

    (a4           (b 5            (c 6            (d  7

27ـ عددی با نصف و ثلث خودش 11 می شود . مجذور معکوس آن عدد چیست ؟

    (a6+          (b 12         (c 36           (d  

28- اگر  و  و  باشد، مقدار xyz برابر است با:  (a 9       (b 24      (c 5         (d 10

29- عرض مستطیلی  طول آن است . اگر از طول 3 متر کم کنیم و به عرض اضافه کنیم، مستطیل به شکل مربع درمی آید،‌ابعاد مستطیل را مشخص کنید.

   (a 16 و 20                           (b 12 و 15

  (c    13 و 17                         (d  12 و 18

30ـ حاصل ضرب دو عدد 30 و تفاضل آن ها 7 می باشد. مجموع مربعات آن دو عدد کدام است؟

  (a109        (b 70        (c 58          (d 53

30ـ 

31ـ   اگر   باشد ،‌حاصل  کدام است؟

   (a      (b 2-         (c 3-           (d  

32ـ  مربعی به ضلع  است ، محیط و مساحت آن به ترتیب کدام است؟

 (a   (b    

(c           (d

33    - اگر      باشد،  برابر است با :

 (a          (b         (c             (d

34    – به ازای چه مقدار m دو کسر   و  با هم برابر می شوند؟ (a     (b     (c       (d  18

35    – اگر و  و   باشند، مقدار عددی  برابر است با :

    (a 13         (b 14         (c 15            (d  16

36    – حاصل عبارت  کدام گزینه است؟

    (a       (b          (c       (d  

37    – اگر  باشد، کدام گزینه صحیح است؟ (a    (b    (c    (d

38    – اگر  باشد،حاصل  کدام است؟ (a         (b          (c           (d

39    – اگر داشته باشیم  حاصل  کدام است؟ (a       (b 19         (c            (d 9

40    – اگر  و  باشند، حاصل  کدام است؟

       (a               (b      

       (c              (d  

41    – مقدار x در معادله‌ی  کدام است؟

      (a 4-         (b 3       (c              (d 2

42    – مجموع دو عدد 5 و حاصلضربشان 24 است. مجموع معکوسات آنها کدام است؟

     (a        (b          (c          (d

43    – اگر معکوس  از یک کم شود معکوس  بدست می آید . مقدار x برابر است با :

     (a          (b 2-            (c            (d  3

44    - مقدار x در معادله‌ی مقابل کدام گزینه است؟

     (a صفر         (b 2            (c  1             (d  

45- شخصی مبلغی را بین سه فرزندش تقسیم کرد. سهم فرزند اول،‌نصف تمام پول منهای 10000 ریال و سهم دومی ،‌ ثلث تمام پول منهای 8000 ریال و سهم سومی ، ربع تمام پول منهای 6000 ریال شد. کل پول چند ریال بوده است؟

(a300000                   (b 288000                       (c  500000                        (d  543000

B نکته ها

 عبارت جبری و معادله

1-    چند اتحاد مهم :

2-    اگر  باشد، باید داشته باشیم که :        

3-    اگر دو طرف یک نامساوی را در یک عدد مثبت ضرب کنیم جهت نامساوی عوض نمی شود.          

4-    اگر دو طرف یک نامساوی را در یک عدد منفی ضرب کنیم ،‌جهت نامساوی عوض می شود.      

 

فصل ششم

موضوع : آمار           تعداد سؤال : 7

1 ـ اگر میانگین 8 درس دانش آموزی 5/17 باشد و نمره‌ی سه درس او 15 و 5/17 و 5/15 باشد و در دروس دیگر نمرات یکسان داشته باشد،‌ نمره‌ی هر یک از دروس دیگر کدام گزینه است؟ (a 18    (b 17   (c 5/17    (d  5/18

2 – دانش آموزان دو کلاس در یک آزمون شرکت کرده اند . معدل کلاسی که 20 دانش آموز داشت 18 و معدل  کلاس دیگر که 30 دانش آموز داشت 16 شد. معدل نمره های  دو کلاس با کدام گزینه برابر است؟

(a 5/16       (b 6/16        (c  7/16         (d 8/16

3- میانگین سه عدد 24 و  و 18 مساوی 16 است. مقدار x کدام است؟ (a 6        (b 12      (c  26      (d   48

4- سه نفر جمعاٌ 3000 تومان پول داشتند . 30% مربوط به اولی و   مربوط به دومی و بقیه مربوط به نفر سومی است. میانگین پول این سه نفر کدام است؟

(a    800        (b 1000        (c  900        (d 1100

5- اگر حداقل نمره‌ی دانش آموزی 4 و حداکثر آن 16 باشد. برای رسم جدول بهتر است چند دسته قرار دهیم ؟

    (a  7          (b  5           (c 4          (d   6

6- اطلاعات عددی بدست آمده را ........گویند.

   (a داده     (b جدول داده ها      (c نمودار       (d  آمار

7 – میانگین 10 داده‌ی آماری 14 است. در صورتی که یک عدد به آن اضافه شود میانگین دو برابرمی‌شود. آن عدد کدام است؟(a  308     (b 121    (c 168    (d 140

ریشه های جذر

برای آغاز بحث جذر، عدد 2231 را با تقریب کم تر از "یک" بدست می آوریم.

الف) از سمت راست دو رقم دو رقم جدا می کنیم.

به این ترتیب عدد 2231 در دو جزء  دیده می شود و همین جا می توانیم تشخیص دهیم که جواب جذر 2231 دو رقمی است.

بنابراین وقتی جذر تقریبی 22 را  4 در نظر می گیریم در واقع جذر تقریبی 2200 را  با تقریب کم تر از 10 و به روش قطع کردن 40 حدس زده ایم.

بنابراین :

                                                            

ب) در مرحله بعد جواب بدست آمده"4" را در 2 ضرب می کنیم"8" و بزرگترین عددی که می توانست در قرار بگیرد تا  حاصل   × 8  بیش تر از 631 نباشد را پیدا می کردیم.

بنابراین معادل همین کار را در سمت چپ انجام دهیم.

یعنی در واقع ما عدد 40 را دو برابر می کنیم و بزرگترین عددی که می تواند به عدد80 اضافه شود تا حاصل  ×( +80 )  بیش تر از 631 نباشد را پیدا می کنیم

                                                

و سرانجام با صرف نظر از رقم یکان عدد 631 و تقسیم آن بر 8 عدد داخل  را حدس می زدیم. لذا: درواقع جزء صحیح تقسیم 631 بر 80 را به عنوان رقم یکان پاسخ جذرمان پیشنهاد می کنیم.

در نتیجه داریم:

                            

 بنابراین پاسخ جذر  با تقریب کم تر از :یک"   47=7+40 می باشد.

اما بیایید دقت کنیم با عدد مورد نظرمان "2231" چه کردیم؟

اولا: 1600 یا 40² را از 2231 کم کردیم .

ثانیا: 7×(7+80) یا 7×(7+40×2) را نیز از 2231 کم کردیم

به عبارتی دیگر ما در مجموع  7×(7+40×2)+40²      یا

                                                              7²+(7×40)2 +40²            

را از 2231 کم کرده ایم ومجموع 40و 7 جواب جذر و عدد 22 هم باقی ماند

از طرفی  7²+(7×40)2+40²بسط ²(7+40) می باشد

به عبارت دیگر در جذر گرفتن: بسط دوجمله ای a+b)²=a²+2ab+b²  )   به صورت 

 a²+(2a+b)b مورد استفاده قرار می گیرد.

بنابر آنچه گذشت: روش مطرح شده در ریاضی سوم راهنمایی برای محاسبه یک جذر جلوه ای خیره کننده از انسجام و اختصار مربع های دو جمله ای نهفته است.  

برای مثال وقتی جواب یک جذر 141 می باشد،در فرایند جذر مربع 141 اینگونه از عددی که جذز گرفته می شود کم می شود:

²[1+(40+100)]=141²

1²+1(140)2+²(40+100)=

1²+1(140)2+40²+40(100)2+100²=

1(1+280)+40(40+200)+100²=

درنتیجه:                1(1+280)+40(40+200)+100²=141²

یعنی: در محاسبه  جذر عددی که پاسخ جذر آن 141 می باشد ابتدا، حاصل 100² سپش حاصل 40(40+200) و بعد حاصل 1(1+280) از آن کم می شود و باقیمانده به جا می ماند

حال می خواهیم با استفاده از رابطه   a+b)²=a²+(2a+b)b ) ریشه دوم عدد 20000 را با تقریب کم تر از یک بدست آوریم

وقتی از سمت راست دو رقم دو رقم جدا می کنیم عدد 20000 در سه جزء دیده می شود پس حاصل جذر سه رقمی است و اولین عدد جواب در ارزش مکانی صدگان می نشیند.

100 را دو برابر می کنیم         200=(100)2=2a

و سعی می کنیم مقدار b را در  2a+b)b)  حدس  بزنیم.

البته: به این نکته دقت می کنیم که عدد درون با ارزش مکانی دهگان ظاهر خواهد شد.

بنابراین: تا اینجا جواب 140 را بدست آورده ایم و باز همین طور ادامه می دهیم

280=(140)2=2a

و بار دیگر می خواهیم مقدار b را در  2a+b)b)  پیدا کنیم.

عددی بعدی با ارزش یکان ظاهر خواهد شد پس داریم: