مثلت پاسکال خیام

۱
سطراول						1					1
سطردوم					1					2						1
		1					3						3						1
	1			4					6						4					1
1			5				10					10						5				1
	.				.				.							.			.					.

                      نحوه تشکیل نمودار یا مثلث     پاسکال – خیام

                                                       سطرسوم                                

                                     سطر چهارم

                              سطر پنجم

                                                                                           .                .              .             .               .             .               .

                                           (مثلث خیام - پاسکال)(@)

الف- خانه های نمودار از بالا به پایین قابل گسترش است.

     وتا هر سطر که مایل باشیم می توان ادامه داد . 

  ب- عددهای درون مربع ها نیز از بالا به پایین نوشته می شوند.  

پ- در  مربع های دو طرف هر سطرعدد ۱ گذاشته  میشود. 

 ت- در داخل دیگر مربع ها   حاصل جمع          

 دو عدد درون مربع های سطربالاتر نوشته می شود.

به نظر می رسد: 

 مجموعه اعداد پدید آمده در مثلث (پاسکال -خیام)

که طبق توضیحات گفته شده به سادگی و برای همه قابل شناسایی

است

سرشار از جلوه های متنوع و متعدد رمز و راز اعداد است.

 در این جا به چند نمونه اشاره می شود.

								1
						1					1
					1					2						1
		1					3						3						1
	1			4					6						4					1
1			5				10					10						5				1
	.				.				.							.			.					.

 

           اولین کار برد اعداد هر سطر  که ظاهرا

 منظور ابداع کنندگان این نمودار

(خیام،پاسکال)نیز بوده .در بسط دو جمله ای می باشد.

    (a+b)^۲=۱a^۱+۲a^۱b^۱+۱b         ^{ضرایب سطر دوم}                  

(a+b)۳=۱a۳+۳a۲b۱+۳a۱b۲+۱b۳         ضرایب سطر سوم                 (a+b)۴=۱a۴+۴a۳b۱+۶a۲b۲+۴a۱b۳+۱b۴            ضرایب سطرچهارم            . . . . . . . . . و   دومین نکته در اعداد هر سطر این است که ۱+۱=۲۱جمع عددهای سطر اول  ۱+۲+۱=۲۲ جمع عددهای سطردوم  ۱+۳+۳+۱=۲۳جمع عددهای سطر سوم  ۱+۴+۶+۴+۱=۲۴جمع عددهای سطر چهارم . . . . . .  و    

اگر به عددهای ساق های مثلث نگاه کنیم

در اولین لایه همه عددها یک هستند. . . . . و    ۱    ۱     ۱    ۱     ۱    ۱    ۱

در لایه دوم عددهای طبیعی به طور متوالی ظاهر می شود

. . . . و   ۷    ۶    ۵    ۴    ۳    ۲    ۱

در لایه سوم عددهای مثلثی ایجاد می شود

. . . . . و ۲۸    ۲۱    ۱۵    ۱۰    ۶    ۳    ۱

این رشته از عددها به این دلیل مثلثی گفته می شوند که

اگر ضلع مثلث با دو نقطه معین گردد

 فقط ۳ نقطه                                                             . 

برای نمایش مثلث کافی است.       .         .

     واگر به مثلث قبلی نقاطی اضافه کنیم تا در                    .

     هر ضلع مثلث جدید که طبعا بزرگتر می شود             .         .

     سه نقطه باشد ۶ نقطه لازم  است                       .         .         .

به همین ترتیب چهارمین عدد مثلثی ۱۰ بدست می آید

و نکته دیگر در همین رشته عددها این است که

برای مثال حا صل جمع عددهای طبیعی از ۱ تا ۴ همان

چهارمین عدد این رشته از عددها است

۱۰=۴+۳+۲+۱